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景点,一位高中数学教师眼中的“数学运算”(一)-w88优德

admin5个月前172浏览量

人生就像解方程,运算的每一步如同都无关大局,但对终究求解却是必要的。成果往往心旷神往,我却更喜爱进程自身,进程便是成果的奥妙地点。

------冯定

1.运算的概念与分类

运算,数学上,运算是一种行为,经过已知量的或许的组合,取得新的量。运算的实质是调集之间的映射。(本文评论的运算以江苏的高考数学为准)

运算一般能够分为一元运算、二元运算和混合运算。

一元运算有绝对值、三角函数、逻辑非等等,这些都是一元运算,实质上是A→B方式的映射。

二元运算,实质上是A×B→C方式的映射。代数运算都是二元运算,如数与数之间的加、减、乘、除、乘方、开方、对数;调集与调集之间的交、并、补;逻辑且、逻辑或等。

数学上对二元运算有如下界说:假定S和T别离是调集,S上的一个T值运算R便是指笛卡尔直积S×S到T的一个映射,也便是映射:

R:S×S→T

运算的性质

R:S×S→T

依照传统的写法,关于S中的两个元素a,b, 咱们用aRb来标明这个运算。

当S=T时,咱们就说这个运算是关闭的。

比方S=T是实数调集,此刻咱们就能够别离界说加减乘除运算。

又比方S是n维实向量调集,T是实数调集,咱们就能够界说内积运算。

除了上述常见的代数运算之外,还有许多其它的运算, 比方开方运算,导数运算,积分运算,取整运算等等。

这些运算能够看成是"算子"的效果。所谓算子,能够看成是效果在运算元素上的函数符号。 比方减法运算的算子便是减号-,开方运算的算子便是根号√ ̄,导数运算的算子便是d/dx,积分运算的算子便是积分号∫。

混合运算,咱们最常见的便是加法、减法、乘法、除法混合在一同的运算,称为四则混合运算。其间,加法和减法叫做榜首级运算;乘法和除法叫做第二级运算。高中还会加上其他的运算与四则运算一同在进行运算。

比方:

2.加减运算

2.1加法

加法是根本的四则运算之一,它是指将两个或许两个以上的数、量合起来,变成一个数、量的核算。

2.1.1根本界说

根本界说

一般来说,在一个调集F上界说一个二元关系“+”,满意:

(1)交换律:对恣意的 a , b ∈ F ,a + b = b + a ∈ F;

(2)结合律:对恣意的 a , b , c ∈ F ,a + (b + c) = (a + b) + c;

(3)单位元:存在一个元素 0 ∈ F ,满意对恣意的 a ∈ F ,a + 0 = 0 + a = a;

(4)逆元:对恣意的 a ∈ F ,存在一个元素 (-a) ∈ F ,满意 a + (-a) = 0。

“+”称作界说在调集F上的加法。

“+”是加号,加号前面和后边的数是加数,“=”是等于号,等于号后边的数是和。

2.12运算的关闭性

加法对天然数集(N)是关闭的,天然对整数集(Z)、有理数集(Q)、实数集(R)、复数集(C)也是关闭的

2.2减法

减法是四则运算之一,从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;已知两个加数的和与其间一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。标明减法的符号是"-",读作减号。

性质,减去一个数,等于加这个数的相反数。如,a-b-c=a-(b+c)

算式称号,"-"是减号,减号前面的数是被减数,减号后边的数是减数,"="是等于号,等于号后边的数是差。即,被减数—减数=差。

减法运算是加法运算的逆运算。在数学上二者并无什么实质上的不同。

减法对天然数集(N)是不关闭的,对整数集(Z)、有理数集(Q)、实数集(R)、复数集(C)是关闭的。

减法运算直接导致负数的呈现,如同是瓜熟蒂落的工作。前史标明,人类承受一种新数的进程是绵长而又崎岖的。

负数的概念一向迟至十二世纪末,才由意大利数学家斐波那契做出正确的解说。可是直到18世纪,仍有一些学者以为负数是“荒诞、无稽的”。他们理直气壮地说:“零是什么都没有”,那么负数,即小于零的数是什么东西呢?莫非会有什么东西比“什么也没有”还有小吗?他们如同对“请你给我五个苹果,可是我只需三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱”这样问题的数学表述(+3)-(+5)=(-2)视若无睹。

3.乘除运算

3.1乘法

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算成果称为积。从哲学视点解析,乘法是加法的突变导致的突变成果。是四则运算之一。

称号,"×"是乘号,乘号前面和后边的数叫做因数,"="是等于号,等于号后边的数叫做积。

含义,3×5标明5个3相加,5x3标明3个5相加。常把乘号后边的因数做为乘号前因数的倍数。

规则,两数相乘,同号得正,异号得负。

运算规则,整数的乘法运算满意:交换律,结合律, 分配律,消去律。

1° 乘法交换律:ab=ba ,注:字母与字母相乘,乘号不必写,或许能够写成•。

2° 乘法结合律:(ab)c=a(bc),

3° 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc。

小前史:《九九乘法歌诀》,又常称为"小九九"。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到"三九二十七"、"六八四十八"、"四八三十二"、"六六三十六"等语句。由此可见,早在"春秋"、"战国"的时分,《九九乘法歌诀》就现已开端流行了。

乘法对加法对天然数集(N)是关闭的,天然对整数集(Z)、有理数集(Q)、实数集(R)、复数集(C)也是关闭的

3.2除法

除法是四则运算之一。已知两个因数的积与其间一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。即有,被除数÷除数=商,被除数÷商=除数,商*除数+余数=被除数,除数不能为零(0).

除法规则,除数是几位,先看被除数的前几位,前几位不行除,多看一位,除到哪位,商就写在哪位上面,不行商1,0占位。余数要比除数小,假如商是小数,商的小数点要和被除数的小数点对齐;假如除数是小数,要化成除数是整数的除法再核算。

商不变性质, 被除数和除数一起乘或除以一个非零天然数,商不变。

除法的性质,一个数接连除以几个数,等于这个数除以那几个数的乘积。能够依据除法的性质来进行简洁运算。如:300÷25÷4=300÷(25×4)

除法运算对天然数集(N)是不关闭的,对整数集(Z)是不关闭的、对有理数集(Q)、实数集(R)、复数集(C)是关闭的。

除法运算是乘方运算的逆运算,在数学上二者并无什么实质上的不同。

评论题:为什么先算括号再算乘除最终算加减?

网上有段文字谈人生的加减乘除,写的很好,节录如下:

咱们的现实生活就象一张草稿纸,任由咱们演算每一天的加减乘除法。咱们这儿所谓的加便是加倍努力、减便是削减烦杂、乘便是乘势而上、除便是除恶存善。学习要加,自豪要减,机会要乘,懒散要除。

园艺家说:“人生便是加法。种子生根发芽,加进水分和养料,才干根深枝繁叶茂开花成果。”

雕塑家说:“人生便是减法。巨石精雕细琢,减去剩余的部分,才干雕琢成一尊精巧的雕像。”

数学家说:“人生便是乘法。精心规划人生,准确规划每一个过程,乘以一切的秀质量和最佳办法,才干成果成功人生。”

地矿家说:“人生便是除法。矿石冶炼成金,除掉杂质需求饱经沧桑,才干黄沙吹尽始见真金。”

加是一种生长,减是一种老练,乘是一种跨过,除是一种超逸。

3.乘方(幂)

乘方(involution)是指求相同因数的积。乘方运算的成果叫幂(power)。正数的任何次幂都是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。

注:本文评论的指数暂限定在整数范围内,分数指数幂需求结合根式来讲更合理。

幂运算对对天然数集(N)是不关闭的,对整数集(Z)是不关闭的、对有理数集(Q)、实数集(R)、复数集(C)是关闭的(此结论是在整数指数幂时建立)。

3.1同底数幂规则

3.2幂的运算规则

3.3关于指数幂的几个小故事

这儿要用到等比数列的概念:一个数列,从第二项起每一项与前一项的比是个定值(公比,不能为零),咱们就称这个数列为等比数列。

指数函数的概念:一般地,y=a^x函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的界说域是 R 。

3.3.1

庄子(约前369-前286),战国中期哲学家,在其《庄子﹒天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”意思是,把长为一尺的棒槌,每天取下前一天所剩余的一半,如此下去,永久也取不完。(一世是三十年,这儿不具指多长时刻,描述时刻长)

这个问题在咱们的直观感觉中截取是能够永久进行的,可是前史的开展与知道是在不断改变的。

咱们知道,在分子中两个原子间的间隔大约是0.1nm。

假如从2017年09月01号开端,每天取其半,到2017年10月02号时现已要开端对一个原子进行切开。从此刻开端,切开者或许明显地感觉到这根棒槌不再是接连的了。也就说从此刻感觉到有一些特别的结构。咱们知道,前史让接连性在此戛然而止。

注:量子论表达的思维十分清晰:无论是光子仍是其它物质不再是接连的了,都是一份份的,或许说是涣散的、量子的,反正是不接连的。这种不接连性咱们也称之为粒子性。

这也是不媚古的反思吧!

3.3.2

中国古代有一个“浮萍七子”的兴趣题:浮萍夜产七子(连同母萍),则一叶浮萍逐日应得浮萍数应是一个等比数列:1,7,72,73,…《孙子算经》中也记载了一个公比为9的等比数列问题:今有人出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几许.书中给出了正确的答案,但没有解法的具体阐明.

3.3.3

印度的舍罕王计划重赏国际象棋的发明者宰相西萨﹒班﹒达依尔,这位聪明的大臣向国王恳求道:“陛下,请您在这张棋盘的榜首个小格内赏给我一粒麦子;在第二个小格子内给两粒;第三格四粒;照这样下去每一格都比前一小格加一倍。陛下啊!把这些摆满棋盘上一切的64格的麦粒,都赏赐给你的家丁吧!”

国王大方的承诺了西萨﹒班﹒达依尔的要求,却不知现已掉进了宰相精心织造的骗局。

国王需求支付的麦粒数是:

这是长达二十位的天文数字!这样多的麦粒,适当于全世界近两千年的小麦产值。

3.3.4

赔了140万法郎的拿破仑

公元1797年拿破仑在观赏国立卢森堡小学的时分,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并承诺说,只需法兰西共和国存在一天,他将每年送一只价值适当的玫瑰花,以示两国的友谊。尔后,因为火与剑的征战,拿破仑忘掉自己开端的许诺。公元1894年,卢森堡国王向法兰西提出了“玫瑰花悬案”,要求法国在拿破仑的声誉与1375596法兰的债务中,二者选其一。这笔高达百万的巨款便是三个金路易的本金,以5%的年利率,在97年的指数(乘方或幂)效应下的产品。

3.3.5

指数效应的故事还有细胞繁衍(海拉细胞繁衍)、折叠纸张(一张A4半数再半数如此30次后与珠穆朗玛峰哪个高)、人口增长等等。

乘方的使用问题主要在等比数列类和指数函数类两个方面。这类以指数规则便化的天然现象和社会现象,有一个极为重要的特性:即量A的改变量ΔA,总是与量A自身及其改变的时刻Δt成正比 ΔA∝AΔA

事实上,令A=f(t)=at,则

ΔA=at+Δt-at=at(aΔt-1)=AΔt[(aΔt-1)/ Δt]]

数学上能够证明,上式右端括号内的量,当改变时刻很短时,趋向一个极限值K(实际上等于lna),然后证得:ΔA≈KAΔt

反过来,数学家也现已证明:假如量A的改变量与它的自身及改变时刻成正比(比列系数为K),那么此刻必有A=A0ekt 这儿A0是变量A的初始值(t=0),数e=2.718……则是一个与圆周率相同重要的数学常量(了解请重视大众号:庄子的那条鱼)。

本文小结:

加法是完全一致的事物的重复或累计,是数字运算的开端。减法是加法的逆运算;乘法是加法的特别方式;除法是乘法的逆运算;乘方是乘法的特别方式。数字运算的开展,是更特别的状况,更高度重复下的规则。

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